Innovación curricular e innovación metodológica en la enseñanza de
la Matemática
Curricular innovation and methodological innovation in Mathematics teaching
Marino Schneeberger
Fecha de recepción: 30/08/2025
Fecha de aceptación: 30/10/2025
Resumen
La realidad que nos toca transitar está atravesada permanentemente por modificaciones y
cambios, algunos más sustanciales que otros, que nos obligan a estar casi en un continuo
proceso de adaptación. A esto no escapa la educación universitaria, en la que durante los úl-
timos años se han venido realizando modificaciones en la mayoría de las carreras,
denominadas genéricamente innovaciones curriculares, con la finalidad de atender a
cuestiones tales como la actualización de los contenidos de los planes de estudio, el
acortamiento de la duración de las carreras y la necesidad de adecuarlas a las demandas y
necesidades del contexto. Estos procesos de innovaciones curriculares en las diferentes
carreras deben ser acompañados por innovaciones pedagógicas en cada uno de los espacios
curriculares que las componen, lo que implica incorporar estrategias y metodologías nuevas,
tanto de enseñanza de los contenidos que se seleccionen para su abordaje como de su
evaluación. El presente trabajo pretende realizar algunas conceptualizaciones teóricas
referidas a estos temas y, solamente a modo de ejemplo, relatar de manera sintética algunas
consideraciones generales re-lacionadas específicamente con la enseñanza de la Matemática,
resultado de los proyectos de investigación y de innovación pedagógica desarrollados en los
últimos 10 años en las cáte-dras universitarias.
Palabras clave: “Innovación curricular”; “metodologías”; “enseñanza”; “evaluación”;
“Matemática.
Abstract
The reality we are experiencing is constantly undergoing modifications and changes, some
more substantial than others, which force us to be in an almost continuous process of
adaptation. University education is no exception. In recent years, most university courses
Profesor de Matemática y Física. Licenciado en Gestión Educativa. Profesor titular ordinario de Álgebra
Aplicada a las Ciencias Económicas. Profesor titular de Cálculo II y de Matemática para Economistas.
Facultad de Ciencias Económicas (FCE), UNER. Director de proyectos de investigación y de extensión en
la FCE-UNER. Profesor honorario Facultad de Ciencia y Tecnología - UADER. Dirección de contacto:
marino.schneeberger@uner.edu.ar
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have undergone modifications, generically known as curricular innovations, which aimed at
addressing issues such as updating university curricula content, shortening program
durations, and adapting programs to the demands and needs of the context. These curricular
innovation processes in the various courses must be accompanied by pedagogical
innovations in each of the curricular areas that comprise them, which implies incorporating
new strategies and methodologies, both for teaching the content selected for their approach
and for their assessment. This paper aims to provide some theoretical conceptualizations
related to these topics and, merely as an example, to summarize some general considerations
specifically related to the teaching of Mathematics, resulting from research projects and
pedagogical innovation developed over the last 10 years in university departments.
Keywords: “Curricular innovation”; “methodologies”; “teaching”; “assessment”; “Mathema-
tics”.
Introducción
En las épocas actuales, en las que los procesos de innovación curricular en las
diferentes carreras universitarias se encuentran en permanente análisis y discusión, resulta
indispensable que los mismos sean acompañados simultáneamente de metodologías y
procesos de innovación pedagógica.
En este punto se pretende distinguir entre las innovaciones curriculares, vinculadas
más bien a procesos de ajustes y/o modificaciones de planes de estudio, y los procesos de
innovación pedagógica, específicamente vinculados a lo que sucede al interior de cada una
de las asignaturas que componen una estructura curricular. Si estos dos procesos, la
innovación curricular y la innovación pedagógica, no se analizan, plantean, discuten,
aplican y evalúan de manera conjunta, los primeros no tienen ninguna garantía de ser
efectivos. Además, se debe tener presente que el desarrollo de ambos requiere que vayan
de la mano de adecuaciones metodológicas apropiadas y pertinentes para contribuir al
logro de los propósitos que orientan estas acciones.
Según lo manifestado por UNICEF en diversas publicaciones de libre circulación a
través de las cuales la organización difunde su actividad, puede afirmarse que “innovar en
educación, con todo lo que esto implica, significa encontrar maneras nuevas y lo más
simples posibles para resolver de manera adecuada problemas de la vida real. Se aclara que
cuando se mencionan problemas de la vida real se hace referencia a situaciones que afectan
la calidad de vida de los individuos y de las comunidades en las que estos se desarrollan”.
Partir de esta concepción posibilita interpretar y comprenderlos conceptos de innovación
curricular y educativa a resguardo de ser confundidos con la simple modificación aislada
de cargas horarias y distribución de espacios curriculares de un plan de estudios, o de
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ciertas y determinadas estrategias y metodologías cuyo único objetivo sea agilizar los
tiempos de acumulación de información, con la finalidad de acortar la duración de las
carreras. En la educación universitaria la innovación va más allá, siempre ligada a una in-
tencionalidad cuyo fin es mejorar la formación de los estudiantes en el contexto real en el
que viven, estudian y, probablemente, deberán desplegar toda su formación básica para
un desempeño profesional que responda a las expectativas propias de cada uno, pero
también de la sociedad en la que van a cumplir la función para la cual se formaron.
La innovación en la educación superior no requiere de grandes inversiones ni de
exclusivas tecnologías de última generación. En todo caso esto puede ayudar, agilizar
tiempos y generar mayores expectativas y motivaciones, pero claramente con eso solo no
alcanza. La verdadera y real innovación parte del compromiso de hacer uso de los recursos
disponibles de manera nueva, flexible y más sencilla, para generar soluciones que mejoren
la calidad de la formación y el desempeño profesional de los individuos, lo que
indudablemente tendrá como corolario la mejora de la sociedad en su conjunto.
Puede afirmarse que existen tantas maneras y modos de innovar como formas
posibles de pensar, aunque todos los esfuerzos de innovación tienen algunas cuestiones
en común, tales como generar mejores y más simples soluciones a los problemas del
contexto, formar seres humanos de manera integral, enfrentar a los estudiantes con su
responsabilidad social y preparar a los mismos para un óptimo desempeño profesional.
Una herramienta que muchos autores dedicados a la temática consideran muy
poderosa para llevar adelante un proceso innovador es hacer buenas preguntas. Una buena
pregunta puede colaborar mucho más con el aprendizaje que sencillamente formular
preguntas que lleven siempre a una respuesta estandarizada, simplificadora de la realidad
y no contextualizada. Algunas características que deben estar presentes al momento de
plantear una buena pregunta son, entre otras, las siguientes: que sea relevante tanto a nivel
individual como colectivo, que ayude a tomar dimensión de la complejidad del problema
o tema involucrado, que pueda analizarse desde diferentes perspectivas, que exija a los
estudiantes poner en juego nuevas habilidades y estrategias, que fomente la investigación,
el análisis y también compartir con otros posibles respuestas a la misma, y , por sobre todo,
que potencie el pensamiento crítico y reflexivo.
En síntesis, innovar no es enseñar a que los estudiantes deban responder sólo de
manera memorística, sino incentivarlos y, de algún modo, obligarlos a que, a partir de una
respuesta, puedan generar preguntas que habiliten la ampliación del conocimiento. La in-
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novación pedagógica pasa por garantizar un margen de personalización del aprendizaje,
para que los alumnos puedan extender los vínculos de un contenido determinado con
otros que le sean complementarios, favoreciendo de este modo la interdisciplinariedad.
Innovación curricular y pedagógica
Para llevar adelante un proceso innovador, sea curricular o pedagógico, el equipo
encargado del mismo debe reunir ciertas y determinadas condiciones que posibiliten la
planificación, ejecución y evaluación de los resultados que se obtengan con posterioridad
a su implementación, con la finalidad de realizar los ajustes pertinentes.
La verdadera y real innovación parte del compromiso de hacer uso de los recursos
disponibles de manera nueva, flexible y más sencilla, para generar soluciones que mejoren
la calidad de la formación y el desempeño profesional de los individuos, lo que
indudablemente tendrá como corolario la mejora de la sociedad en su conjunto.
De acuerdo a lo hasta aquí planteado, la innovación curricular y pedagógica debe
mantenernos alerta y expectantes acerca de todas las herramientas que puedan contribuir
a que los estudiantes al momento de egresar se encuentren en mejores condiciones para
que sean competitivos y al mismo tiempo solidarios, lo que les posibilitará ser efectivos
factores de cambio en la comunidad. Por supuesto que todos deben acreditar cierta
formación de base, ciertos conocimientos específicos vinculados a la temática acerca de la
que se pretende innovar, además de saberes específicos y dominio de destrezas y
habilidades, muchas veces obtenidas a partir de la experiencia propia, que posibiliten
ampliar el horizonte y la visión que el equipo tenga de aquello que se quiere abordar como
tema u objeto de innovación.
Todo proceso innovador debe comprender e integrar determinados componentes
que se pueden sintetizar en el siguiente esquema representado en la Figura 1.
La implementación de manera permanente o estable de una cultura innovadora, sin
dudas, se ha convertido en uno de los desafíos más importantes en la Educación Superior.
Es la base fundamental para el logro de una mejora en la calidad educativa, tal lo
establecido en la Resolución Ministerial 2597/23 que refiere al Sistema Institucional de
Aseguramiento de la Calidad (SIAC), lo cual exige una actitud colaborativa de parte de
todos los integrantes de una determinada comunidad.
La innovación educativa, incluyendo como partes fundamentales la pedagógica, la
metodológica y la didáctica como una práctica habitual de los docentes, exige de parte de
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todos, pero fundamentalmente de quienes enseñan, comprender el alcance de lo que esto
significa. En ese marco, el impacto del avance de las tecnologías y la aplicación de modelos
de aprendizaje-enseñanza centrados en los estudiantes, constituyen un desafío de alta
relevancia. Y la innovación, sin dudas, se ha convertido en una línea estratégica de todas
las políticas de Educación Superior y de las estrategias implementadas por las
universidades. Resulta muy interesante considerar lo siguiente:
El discurso pedagógico contemporáneo, tanto en Europa como en América Latina,
identifica la relación entre los procesos de innovación curricular y de investigación,
generando una polisemia que, aunque se relaciona con el cambio, no deja claridad en
cuanto a las características, factores y condiciones metodológicas en que ésta tiene
lugar (Blanco y Messina, 2000, citado por Macanchí Pico ,2020: 397).
Figura 1.Componentes de un proceso innovador
En general, la referencia a la innovación educativa, pedagógica y didáctica se asocia
más a grupos especializados y dedicados a este fin que a una actividad propia y cotidiana
de todos los docentes universitarios, al punto de apreciar que para muchos de ellos no es
aún la innovación una prioridad del trabajo, y existe cierta incertidumbre acerca de
instalar de manera efectiva una cultura de innovación. Es muy interesante destacar que,
para llevar adelante de manera eficiente procesos innovadores, los equipos docentes
responsables de los mismos deben tener una característica particular, tal como es la de ser
Innovación
educativa
(curricular +
pedagógica)
1- Detectar las
necesidades
principales
2- Especificar el
problema
3- Fijar metas
4- Especificar las
limitaciones
5- Propuesta de la
innovación
educativa
6- Puesta en marcha
del modelo
innovativo
7- Difusión y
ejecución del
modelo innovativo
8- Estudio de los
efectos del modelo de
innovación educativa
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hetero-géneos en sus formaciones particulares, donde cada uno pueda aportar
conocimientos específicos y visiones diferentes acerca de un mismo tema, con la finalidad
de enriquecer el debate y llegar a conclusiones válidas. Es muy difícil desarrollar
estrategias innovadoras cuando en un equipo todos sus integrantes saben lo mismo y
piensan igual. La condición que sí deben cumplir todos es la de estar realmente
interesados, comprometidos, convencidos, capacitados y dispuestos a aprender de manera
colaborativa.
En la Revista Universidad y Sociedad, de la Universidad de Cienfuegos, en uno de sus
artículos los autores sostienen que:
Existe una total coincidencia en que el vocablo “innovar” se identifica con otros
términos como “cambio”, “renovación”, “transformación”, “reforma” o “modificación”,
pero lo cierto es que, aun así, la innovación implica un proceso razonado de decisiones
fundamentales que permiten avanzar hacia la introducción e integración de un nuevo
conocimiento, tecnología o recurso, que es producto de la creación de alguna idea
científica, teórica o conceptual que pueda conducir a la innovación cuando se aplica a
la práctica. Bajo esta consideración, toda innovación exige un cambio, aunque no todo
cambio puede calificarse como innovación (Macanchí Pico et al., 2020: 32).
Debe entenderse que la innovación educativa supone la introducción de algo nuevo
que produce mejora y promueve avances en aspectos sustanciales en determinado objeto
de estudio, promoviendo la reflexión y el análisis acerca del objeto. Se explica de esta
manera que la innovación parte del reconocimiento de una necesidad y requiere
conocimiento técnico que puede ser resultado de una actividad investigativa que aporta
originalidad y novedad al proceso objeto de la innovación.
Según Morales (2010), la innovación se define como un proceso intencional y
planificado, fundamentado en la teoría y la reflexión. Este proceso está dirigido a
transformar prácticas y alcanzar objetivos, lo que implica su conexión con la investigación
y la integración de tecnologías avanzadas o adaptadas de otros campos.
En las últimas décadas se observa un despliegue muy importante vinculado al
desarrollo de acciones de innovación en las universidades, buscando la alineación de los
inte-reses de la investigación, la extensión y la innovación con los intereses del desarrollo
social. Gimeno (2012) afirma que, la realización de cualquier proyecto está condicionada
por el contexto cultural y organizativo de las instituciones de Educación Superior. La
capacidad para facilitar la innovación depende de la posibilidad de trabajar de manera
interdisciplinaria y de disponer de espacios adecuados para crear entornos académicos
donde la unión entre investigación e innovación sea primordial. Esta unión es clave para
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generar nuevos conocimientos, metodologías, tecnologías o productos que mejoren los
procesos educati-
vos, pedagógicos y didácticos dentro de la comunidad universitaria.
Sin lugar a dudas, el análisis y la comprensión de la marcha del desarrollo científico
tecnológico que tiene lugar en la sociedad es una premisa muy fuerte que permite entender
la particularidad del cambio en la pedagogía y en la didáctica de la educación superior. En
los últimos años, el desarrollo de las tecnologías informáticas y de las comunicaciones,
tanto como los avances en la aplicación de las ciencias que abordan de manera específica
la problemática del conocimiento, han sido un importante insumo para los procesos peda-
gógicos y de aprendizaje-enseñanza, así como el impulso que han tenido las
investigaciones pedagógicas, impactando de manera determinante en las reflexiones y
cambios en las concepciones y prácticas educativas universitarias.
Macanchí Pico et al. (2020), al retomar lo sostenido por el pedagogo Zabala, afirman:
Aun cuando se le adjudica al profesor el papel de orientador y mediador, guía y
facilitador del conocimiento y del uso de los recursos y las herramientas que necesita
el estudiante para gestionar la información, explorar y elaborar nuevos conocimientos,
es en él en quien se deposita la esperanza de que las universidades puedan enfrentar
los retos esenciales de la excelencia universitaria (Macanchí Pico et. al., 2020: 32).
Es muy importante considerar que entre los desafíos y áreas clave de la innovación
en la Educación Superior, se destacan aquellos relacionados con el desarrollo de nuevas
habilidades, comportamientos y prácticas asociadas al cambio. Esto incluye especialmente
la adopción de nuevas creencias y conceptos vinculados al uso de entornos virtuales en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Es fundamental fomentar innovaciones que
promuevan la capacidad de aprender y adaptarse a los cambios. Además, la innovación en
este contexto implica una transformación en las representaciones prácticas asociadas a
estos cambios (Díaz Barriga, 2010).
En consecuencia, puede inferirse que la innovación en este nivel educativo se asume
como una alternativa viable para introducir cambios orientados hacia la mejora de los
estudiantes, de las carreras, departamentos, procesos y contextos de formación. La
implicación de los docentes puede presentar variantes, pero sin lugar a dudas se
mantendrá como un elemento básico e indispensable, puesto que, en cualquier caso, es a
quién se le encarga esta responsabilidad, ya sea en grupos académicos, de investigación o
de manera aislada como parte de su práctica.
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Atendiendo a todo lo mencionado hasta aquí, construir una cultura de la innovación
constituye uno de los retos que enfrenta la Educación Superior para el siglo XXI. En ella
descansa la posibilidad de alcanzar la excelencia académica y el reconocimiento social co-
mo comunidad creativa, promoviendo las reflexiones acerca de la utilidad y beneficios de
la relación entre innovación, la innovación y el trabajo académico, ampliando así las
potencialidades para que el docente universitario se convierta en un actor clave del cambio
educativo en las carreras a nivel institucional o nacional.
Importancia de los proyectos de investigación sobre enseñanza y evaluación en
Matemática
Desde el desempeño al frente de cátedras universitarias, tanto en la carrera de Mate-
mática, como así mismo en Ingeniería y en Ciencias Económicas desde hace más de
cuarenta años, se ha indagado en estas cuestiones con la mirada puesta en encontrar
estrategias y metodologías innovadoras, tanto de enseñanza como de evaluación, cuya
finalidad sea lograr que los estudiantes interpreten desde el momento mismo en el que se
les plantea el tema a desarrollar la relevancia que el mismo tiene en su formación
profesional. En sín-tesis, tratar de motivarlos para que presten atención, comprendan,
apliquen y realicen pre-guntas vinculadas al mismo, teniendo una idea clara acerca de para
qué les servirá ese con-tenido específico, sea en su formación como profesores en la
disciplina Matemática que deberán enseñar en los diferentes niveles, como en las
aplicaciones particulares en el cam-po de las ciencias de la ingeniería y en el de las ciencias
económicas. Con este objetivo se han diseñado y ejecutado proyectos de investigación en
relación a la temática, con la idea de producir conocimiento válido y aplicable en el
proceso de abordaje de los contenidos.
Enseñar matemática en carreras específicas, desarrollar estrategias adecuadas para
que los estudiantes aprendan y elaborar instrumentos que resulten pertinentes para
evaluar esos aprendizajes, es una premisa básica y un compromiso que los docentes de una
asignatura deben asumir, teniendo en cuenta las particularidades que determinan el año
en que la materia se encuentra inserta, la cantidad de alumnos con los que deba
desarrollarse y las características propias de la misma.
No hay dudas respecto de que cualquier estudiante que se adentre en el cuerpo del
pensamiento matemático moderno debe estar familiarizado, en mayor o menor medida,
de acuerdo con el grado de profundización que desee, con el lenguaje y las técnicas
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matemáticas. De no ser así, se verá relegado a consultar una fracción, a veces no
representativa en múltiples aspectos, de la literatura científica.
Teniendo en consideración todas las cuestiones hasta aquí planteadas, desde hace
ya varios años se han desarrollado proyectos de investigación científica vinculados a los
procesos de enseñanza y de evaluación en Matemática, como así mismo otros vinculados
al análisis y diseño de instrumentos integradores para trabajar diferentes contenidos,
tratando de ir integrando de manera sostenida los temas que se hayan trabajado, evitando
la fragmentación y el tratamiento aislado de los mismos.
Estas han sido instancias muy enriquecedoras, no sólo para la comprensión y el
análisis de los temas por parte de los estudiantes, sino también para el fortalecimiento y
el en-riquecimiento de los equipos docentes que se necesariamente deben trabajar de
manera sostenida, teniendo un espacio propicio para aplicar, con las adaptaciones y
ajustes pertinentes, lo relevado en las investigaciones desarrolladas.
Durante los últimos diez años se han llevado a cabo de manera sistemática acciones
concretas vinculadas de manera directa a procesos innovadores, lo que ha implicado
embarcarse en un constante viaje hacia la mejora educativa, dando forma a proyectos
innovadores que han dejado una huella significativa en la calidad de la enseñanza. Estas
acciones han implicado desde cambios metodológicos hasta la incorporación de
tecnologías emergentes y la creación de espacios participativos, concibiendo cada una de
las iniciativas relatadas como un paso más hacia el logro del objetivo primordial que es el
enriquecimiento y la mejora de la experiencia educativa de los estudiantes.
Los modelos matemáticos como recurso metodológico
El uso de las matemáticas en disciplinas varias, tales como son la economía y la inge-
niería, es vista, con frecuencia, como el origen de un sinnúmero de problemas. Los
enemigos más vociferantes de esta matematización consideran a la matemática como
invasora en un campo que no le corresponde, restringiendo el desarrollo de la disciplina
específica y atrapándola dentro de un marco de formalidad innecesario. Por otro lado, la
economía moderna y el avance estrepitoso de las ingenierías, al menos desde un punto de
vista académico, no existiría sin el uso sistemático del lenguaje matemático. Para
corroborar esto, alcanza con tomar cualquier revista académica especializada, y después
abrirla en una página al azar: imaginemos que desaparece todo el lenguaje matemático,
¿qué queda? Muy poco. El estudiante de estas disciplinas, y en algunos casos los propios
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estudiantes de Matemática, tienden a sentir ansiedad por saber si todos esos modelos
llenos de matemática le serán útiles algún día. Dado que esa aplicación esperada
generalmente no es inmediata, es necesario aclarar el contexto en el que se justifica el uso
de la sofisticación teórica del lenguaje matemático. Esencialmente, el problema que
tenemos enfrente es el de entender cuál es el origen, la pretensión y el objetivo de los
modelos matemáticos y justificar su uso en la economía.
Llegado a este punto resulta relevante destacar el papel que juegan en esto los
procesos de modelización en la enseñanza de la matemática, desde los más elementales
hasta aquellos que son más sofisticados. El planteo y el análisis de un modelo resultan muy
útiles como elemento motivador para el aprendizaje de los estudiantes, sean estos de
matemática pura o, en lo posible, aplicada. Además, si se plantean modelos adecuados,
pueden re-sultar relevantes también como instrumentos que posibiliten tener una visión
más integrada de los contenidos, contribuyendo a superar el abordaje aislado de los
mismos sin la posibilidad de aportar una visión más holística de los contenidos
matemáticos.
El proceso de modelación matemática se puede entender a partir de una abstracción
de los elementos en juego. Por un lado, tenemos a la realidad, a la cual consideramos
infinita y sólo parcialmente accesible. La introducción de medidas en el modelo nos
permite poder usar números; de este modo aparece la matemática en juego. Se reconocen
en esta abstracción tres pasos que, en mayor o menor grado, determinan el proceso de
modelación:
• abstracción del mundo,
• deducción a partir del modelo,
• verificación, predicción y usos.
Estos pasos pueden esquematizarse mediante una representación gráfica sencilla como
la siguiente:
Figura 2.Esquema proceso de modelación matemática
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Una teoría económica constituye una abstracción del mundo real, puesto que la
complejidad de la realidad económica hace imposible comprender todas las
interrelaciones a un mismo tiempo. Es por ello que lo más pertinente es seleccionar los
factores y las relaciones primordiales que interesan al problema objeto de estudio. Un
esquema de estas características, deliberadamente simplificado, se denomina modelo
económico atento a que representa la realidad de una manera esquemática y aproximada.
Si este modelo pretende ser matemático, generalmente consistirá en un conjunto de
ecuaciones cuya finalidad será describir la estructura del mismo. Al vincular variables, de
diversas maneras, estas ecuaciones dan forma matemática al conjunto de supuestos consi-
derados y, mediante la aplicación de operaciones diversas, se procurará extraer
conclusiones que sean una consecuencia lógica de los supuestos adoptados.
En el paso definitivo del proceso de modelación matemática, se confronta la
conclusión puramente matemática con la realidad que se pretendía estudiar en un
principio. Esto se puede hacer de distintas maneras. En el caso de las ciencias exactas, la
verificación se da con base, ya sea en la predicción de comportamientos que pueden ser
observados a tra-vés de experimentos controlados, o bien en la explicación de fenómenos
observados para los cuales no existía tal explicación. De este modo, tradicionalmente se
evalúa la calidad de un modelo según su habilidad de predecir y explicar correctamente
otros hechos. Deci-mos que un modelo es robusto, si las conclusiones que se obtengan a
partir del mismo no dependen del cumplimiento exacto de los supuestos, de no ser así se
dice que el modelo es frágil.
En este punto es importante destacar que los modelos, en la mayoría de los casos,
no tienen el mismo nivel de capacidad de predicción en las ciencias exactas que en las
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ciencias aplicadas. Por ejemplo, las razones por las cuales los modelos económicos no
tienen la objetividad y capacidad de predicción que aquéllos en ciencias exactas son claras:
los fenómenos que se estudian son, no sólo complejos, sino muy difíciles de aislar. La acti-
vidad económica se desarrolla dentro de un marco legal, técnico, social y político que
evoluciona constantemente. No puede ignorarse los efectos que esto tiene sobre los
fenómenos económicos, sin embargo, difícilmente podemos cuantificar estos efectos.
Puede decirse entonces, a modo síntesis, que:
• Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la
realidad. En su estructura intervienen, por una parte, los elementos que
caracterizan la realidad modelizada y, por otra parte, las relaciones existentes
entre ellos.
• Un modelo matemático es un tipo de modelo basado en la lógica matemática,
cuyos elementos son esencialmente variables y funciones, y las relaciones entre
ellos vienen expresadas a través de relaciones matemáticas (ecuaciones,
inecuaciones, operadores lógicos, etc.) que se corresponden con las
correspondientes relaciones del mundo real que modelizan (relaciones
tecnológicas, leyes físicas, restricciones del mercado, etc.).
• La construcción de modelos revela, a veces, relaciones que no son evidentes a
primera vista. Una vez construido el modelo, es posible extraer de él propiedades
y características de las relaciones que de otra forma permanecerían ocultas.
Se plantea a continuación, un modelo matemático posible propio del campo de las
ciencias económicas, a través del cual pueden extraerse conclusiones vinculadas al merca-
do del trabajo, en el que intervienen conceptos básicos del álgebra tales como funciones,
crecimiento y decrecimiento de funciones, puntos de equilibrio, análisis de sus representa-
ciones gráficas y discusión acerca de su comportamiento.
Un ejemplo sencillo de un modelo económico es el esquema del mercado laboral en
el marco neoclásico, donde se consideran las relaciones laborales bajo un mercado de
competencia con mecanismos competitivos a través de la regulación entre precios y
trabajo (como un mercado de competencia perfecta), pero con mecanismos de regulación
del sala-rio mínimo. En este sentido, se busca abstraer determinadas relaciones
económicas y comportamientos, en función de supuestos y principios que determinan las
lógicas internas del modelo
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En este esquema, el salario se determina por las relaciones de oferta y demanda de
trabajo en cierto mercado (e.g.: el sector manufacturero). En esta formulación del modelo,
se identifican las principales variables que se relacionan endógenamente, tales como el sa-
lario (w), el salario mínimo (wmin), los y las trabajadores que están dispuesto a trabajar a
un salario determinado (oferta laboral), y la cantidad de trabajadores que las empresas es-
tán dispuestas a contratar a cierto salario (demanda laboral). Asimismo, se considera que
una serie de supuestos de fondo que podrían influir en el análisis se mantiene constante
(entendiendo que la realidad es más compleja que el propio análisis del modelo), bajo el
principio de ceterisparibus, término económico utilizado para analizar el comportamien-
to de algo independiente del entorno y significa “con los demás factores constantes”. Esto
es, de qué manera respondería ese algo ajeno a circunstancias puntualmente relacionales.
Para analizar un mercado de trabajo específico, se parte de ciertos supuestos: el
sector a analizar es representativo; el mercado es competitivo (tanto oferentes como
demandantes son tomadores de precios); el salario es una variable independiente que
determina la oferta y demanda; el salario mínimo está dado en forma externa (ej: por una
autoridad gubernamental); existe un equilibrio cuando la oferta y demanda se igualan;
tanto la oferta (f(w)) como la demanda (g(w)) se pueden representan como funciones
continuas dependientes del nivel de salario w en forma creciente y decreciente
respectivamente; el salario de equilibrio, de existir, es mayor o igual al salario mínimo
(w*≥wmin).
De esta forma, la intersección entre las funciones de oferta y demanda determinan
el salario de equilibrio y las cantidades de trabajadores, instancia en la que no existe
desempleo involuntario. Pero si se impone un salario mínimo por arriba del salario de
equilibrio aumenta la oferta de trabajo (L1>L*) y cae la demanda (L2<L*), donde D=L1-L2
serán los trabajadores involuntarios (los que, al nivel de salario de mercado, están
dispuestos a trabajar pero no encontrarán trabajo), ya que L*-L2perdieron el trabajo, y L1-
L* se incorporaron al mercado. La gráfica siguiente es representativa de lo mencionado:
Gráfico 1.Representación de funciones de oferta y demanda
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A partir de este esquema se pueden establecer determinados principios, tales como
el impacto en el mercado de trabajo de los aumentos del salario mínimo, de la incidencia
de la forma de las curvas de oferta y demanda de trabajo, entre otros. Asimismo, su alcance
y validez se encuentra limitada por los propios supuestos en los cuales se basa: que el
mercado de trabajo es competitivo, que el salario es flexible a la baja, que existe tal cosa
como un equilibrio, entre otros. En estos supuestos radica parte de la validez de las
conclusiones
del propio modelo, así como en su correcta formulación.
Se considera que modelos como el propuesto pueden ser el inicio del tratamiento de
diferentes temas, buscando los que resulten pertinentes para cada uno de ellos,
independientemente de cuál sea el campo de aplicación elegido. Esto brindará a los
estudiantes de Matemática la posibilidad de aprender no solo los aspectos conceptuales
básicos, sino también las posibles aplicaciones que los mismos tienen, lo que redundará
seguramente en una mayor motivación para abordar los mismos.
El estudiante de Matemática debe adquirir herramientas metodológicas para
enseñar lo que está estudiando, en los diferentes niveles en los que deba desempeñarse,
pero, además, y fundamentalmente, en los diferentes contextos específicos en los que deba
enseñar esos contenidos. En estas épocas ya no es suficiente que los estudiantes se
apropien de conceptos, definiciones y propiedades que vinculan estos conceptos, sino que
resulta necesario que aprendan cómo, dónde y de qué manera pueden aplicarse.
Solamente de es-ta manera podrán desempeñar su tarea de enseñanza de manera más
eficiente, contextualizada y adaptada a los intereses de los alumnos.
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Otra discusión que se plantea en Matemática cuando se proponen, estudian,
discuten y analizan modelos, es la vinculación entre los denominados estáticos y los
dinámicos. En un modelo estático por lo común la variable tiempo no desempeña un papel
relevante. En un modelo dinámico, por el contrario, alguno/s de los elementos que
intervienen en la modelización no permanecen invariables, sino que se consideran como
funciones del tiempo, describiendo trayectorias temporales. El análisis de un modelo
dinámico tiene por objeto el estudio de la trayectoria temporal específica de alguno/s de
sus elemento/s, para lo que pueden considerarse modelos dinámicos deterministas y
modelos dinámicos estocásticos.
• Un modelo dinámico determinista es aquel en el que, tanto a los parámetros como
a las variables temporales, se les asignan valores determinados con certeza absoluta.
En general existen pocos modelos deterministas en el campo de la Economía y las
Finanzas, ya que, en la mayor parte de los casos, las variables y parámetros
involucrados en los modelos económicos y financieros (tasas de interés, precios de
activos, etc.) son impredecibles.
• Habitualmente la modelización dinámica en modelos económicos financieros hace
uso de modelos estocásticos. En un modelo estocástico, alguna variable (o paráme-
metro) sigue un proceso estocástico, es decir, que los valores que toma a lo largo del
tiempo no son determinados con certeza absoluta, sino que siguen una distribución
de probabilidad.
A su vez, según se considere a la o las variables intervinientes discretas o continuas,
tendremos un modelo dinámico continuo o discreto. De cualquier modo, es conveniente
establecer y describir algunos ejemplos que muestren de la forma más clara posible las di-
ferencias entre ellos y, en algunos casos, de qué manera puede pasarse de uno a otro. El si-
guiente planteo se corresponde inicialmente con un modelo dinámico discreto que luego
puede transformarse en un modelo dinámico continuo. A modo de ejemplo de lo
anteriormente planteado, se plantea un modelo de capitalización compuesta como el que
sigue.
Consideremos un depósito financiero a 3 años, con capital inicial C0 y tasa de interés
anual del 6%. En base a estos únicos datos se solicita diseñar un modelo de capitalización
compuesta considerando que la capitalización sea anual o semestral, situación ésta que
dará origen a un análisis particular en cada caso.
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Caso anual
Elementos del modelo:
- Variable tiempo t: variable discreta t{0, 1, 2, 3}
- Variable de estado C(t) que describe la evolución del capital a lo largo del
tiempo. Es función del tiempo y el estudio de su trayectoria temporal es el
objetivo del modelo.
- ∆t=1: incremento de tiempo transcurrido entre dos valores de la variable t, es
decir entre dos periodos. Los modelos discretos suelen trabajar con valores de
t equidistantes y, por tanto, con un incremento constante.
- n = 3; número de periodos. Se cumple n. ∆t = intervalo temporal total.
Relaciones:
Debe establecerse la relación existente entre el capital en un instante t y el capital
en el instante siguiente t + ∆t.
Aplicando la ley de capitalización compuesta se tiene que:
C(t + ∆t) = C(t) + C(t) . 0.06 = C(t). (1+0.06)
Resolución del modelo:
Procediendo recursivamente se obtiene C(3):
C(0) = C0
C(1) = C0 . (1+0.06)
C(2) = C(1). (1+0.06) = C0. (1+0.06). (1+0.06) = C0. (1+0.06)2
C(3) = C0 . (1+0.06)3
Caso mensual
Elementos del modelo:
- Variable tiempo t: t {0, 1/12, 2/12, ..., 12/12, ..., 24/12, ..., 36/12}
- Variable de estado C(t)
- ∆t = 1/12 (1 mes)
- n = 36
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Relaciones:
Como la tasa de interés es anual y el periodo de capitalización es mensual, debemos
convertir la tasa anual en mensual.
Para ello, sustituimos 0.06 por 0.06/12 = 0.06. (1/12) = 0.06.∆t
C(t + ∆t) = C(t) + C(t) . 0.06. ∆t
Modelo general
Modelo dinámico discreto en diferencias finitas:
- Capitalización compuesta
- C0 capital inicial
- r tasa de interés anual
- ∆t expresado de modo que permita transformar la tasa de interés anual en la
correspondiente a la duración del periodo utilizado:
C(t + ∆t) = C(t) + C(t) . r. ∆t y C(0)=C0
Puede pasarse ahora a considerar la transformación del modelo matemático discreto
a un modelo dinámico continuo.
- Se supone que en el ejemplo anterior se disminuye la duración del periodo y
trabajamos con capitalización diaria. El modelo será: C(t + ∆t) = C(t) + C(t).r ∆t; con
C(0) = C0 pero ∆t pasa a ser ∆t=1/360 (transformando la tasa de interés anual en
diaria). Cuanto menor sea ∆t, menor será el periodo de capitalización utilizado.
- Haciendo que ∆t → 0, entonces r. ∆t representa la tasa de interés instantánea. Para
obtener el modelo de capitalización “instantánea” o modelo continuo de
capitalización se procede como sigue:
Tomando ∆t → 0 de ambos lados obtenemos la derivada del C(t) respecto del
tiempo:
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Obtenemos una ecuación donde se relaciona una función con su primera derivada,
lo que nos introduce a la idea de las ecuaciones diferenciales.
En forma complementaria, la capitalización instantánea se puede representar de la
siguiente forma. Si y consideramos a m como la frecuencia de
capitalización, se plantea:
El término dinámica, refiere a un tipo de análisis cuyo objeto puede ser trazar y
estudiar las trayectorias temporales específicas de las variables, o determinar, en un
tiempo suficiente, si esas variables tenderán a converger hacia determinados valores
denominados puntos de equilibrio.
Al ubicar, desde el análisis dinámico, las variables en el tiempo existen dos maneras
de hacerlo: considerar al tiempo como una variable discreta o como una variable continua.
En este último caso en cada instante le ocurre algo a la variable (por ejemplo, en la capitali-
zación continua del interés). El caso continuo siempre puede ser considerado como el lími-
te del caso discreto, cuando los períodos de tiempo se vuelven muy breves.
Del análisis detallado del problema planteado, y de todo el desarrollo realizado para
su resolución, surge la posibilidad de analizar todos los temas que se encuentran
involucrados en el mismo.
El planteo de problemas que puedan ser representados por modelos matemáticos,
aunque sean aproximados, es también una estrategia interesante para encarar el tratami-
ento de determinados contenidos, puesto que cuidadosamente elaborados permiten
además hacer una integración de los mismos. De esta manera contribuyen a evitar la
fragmentación, una de las principales dificultades con la que se encuentran los estudiantes
a la ho-ra de estudiar.
Es importante tener muy en claro algunas consideraciones referentes a las
características que debe reunir un problema para emplearlo como herramienta de
enseñanza. Esto amerita, entonces, que se analicen y describan distintos tipos de modelos
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posibles de problemas, como así también la importancia que posee el problema en el
aprendizaje y también en la evaluación, considerando las posibles formas de abordaje para
su resolución.
Decididamente, en función de lo planteado en los párrafos anteriores, la
formulación, el planteo, el análisis, la discusión, y, consecuentemente, la resolución de
problemas, empleando modelos matemáticos de diferente orden de complejidad, se
constituyen entonces en un factor de aprendizaje decisivo a la hora de enseñar matemática
y, por lo tanto, también a la hora de evaluar. Es por este motivo que la elección de los
mismos debe ser una tarea minuciosa, de modo que los diferentes planteos permitan ir
integrando, de manera secuenciada, los contenidos a medida que se los aborda.
Es pertinente aclara que se parte de la concepción teórica que para un estudiante
un problema consiste en cualquier situación para la que no tenga una respuesta inmediata,
ni tampoco pueda obtenerla reemplazando datos en una fórmula conocida (esto sería
simplemente resolver un ejercicio), sino que tiene necesariamente que comprender un
enunciado por más sencillo que sea, identificar los elementos conceptuales disponibles
que le posibiliten encontrar y escribir las relaciones fundamentales entre los datos,
plantear matemáticamente de manera adecuada estas relaciones para, finalmente,
encontrar la respuesta al planteo.
En su trabajo Las matemáticas para la economía y la empresa y el desarrollo de
competencias genéricas, Inmaculada Masero Moreno y María José Vázquez Cueto, de la
Facul-
tad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Sevilla, sostienen:
Para mostrar la importancia de las matemáticas en la economía y la empresa es nece-
sario que las asignaturas que abordan su desarrollo incluyan el estudio y análisis de
aplicaciones económicas simples. Su enseñanza manifiesta la utilidad de determina-
dos conceptos matemáticos y permite el desarrollo de las habilidades asociadas a la
capacidad de aplicar la teoría a la práctica, junto a otras competencias genéricas como
son la capacidad de síntesis y análisis o las habilidades de investigación (Masero
Moreno y Vázquez Cueto, 2010: 169).
Puede considerarse, en este punto, que el actual sistema de enseñanza universitario
supone un cambio en la concepción y desarrollo de la docencia al proponer que los
alumnos adquieran capacidades y actitudes que hasta ahora no habían sido tenidas en
cuenta en la planificación de la mayoría de las asignaturas. Así, el desarrollo de las
competencias específicas asociadas a cualquier asignatura se debe complementar con el
desarrollo de competencias generales como son el manejo de la información y las nuevas
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tecnologías, la capacidad de trabajar en grupo, la gestión del tiempo y la toma de
decisiones. Esto supone investigar en nuevos recursos de enseñanza que propicien este
objetivo y que, al mismo tiempo, motiven e impliquen al alumnado en el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
En función de lo expresado en párrafos anteriores, deben re-pensarse de manera cui-
dadosa los instrumentos a emplear en las instancias de evaluación, de modo tal de mostrar
de manera explícita la coherencia entre las formas de enseñar y las formas de evaluar.
Claramente, en este punto no puede ni debe dejar de destacarse el papel
fundamental que las TIC, a través de diversos aplicativos de uso libre y gratuito al alcance
tanto de docentes como de estudiantes, cumplen para este logro. Con la formulación de
una situación problemática pertinente, por más sencilla que la misma sea, se intenta que
los estudiantes sean capaces, entre otras cuestiones, de:
• abordar el análisis de una situación propia del campo en el que se están formando;
• traducir matemáticamente un problema de naturaleza económica;
• seleccionar y aplicar las herramientas matemáticas adecuadas para resolverlo;
• interpretar los resultados matemáticos en términos económicos.
Además, se pretende que los estudiantes puedan identificar y dar cuenta de las
principales conceptualizaciones teóricas implicadas tanto en el planteo e interpretación
del problema, como en la solución del mismo. Por otra parte, se considera relevante en
este punto del desarrollo realizar algunas consideraciones sobre los diferentes tipos de
problemas posibles de formular, las formas de abordarlos con la finalidad de encontrar su
solución, y la importancia que los mismos poseen para potenciar el aprendizaje
significativo y
contextualizado de los estudiantes.
A continuación, se toma en consideración lo planteado en el trabajo La resolución
de problemas en la enseñanza de la matemática, de Elisabetta y González Dieterich,
pertenecientes a las Facultades de Humanidades y de Recursos Naturales de la Universidad
Nacional de Formosa. Las autoras mencionadas señalan que existen investigaciones de
especialistas que refieren al significado del problema y a lo que se concibe como resolución
de problemas. Al respecto, Polya publicó tres libros sobre los aspectos generales de la
enseñanza de la resolución de problemas. En sus obras, el énfasis está puesto en clasificar
los problemas matemáticos según se trate de aplicar un algoritmo, elegir uno entre varios,
combinar algunos o elaborar uno nuevo. Para Polya, “resolver un problema significa poder
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salir de una dificultad, sortear un obstáculo, alcanzar una meta que no era a priori
inmediatamente alcanzable” (Polya, 1945, citado en Elisabettay González Dieterich, 2015:
3). En uno de sus libros, Cómo plantear y resolver problemas, el autor identifica cuatro
pasos:
• Comprender el problema (análisis del enunciado).
• Concebir un plan (determinación de la vía de solución).
• Ejecutar el plan (ejecución de la vía de solución hallada).
• Examinar la solución. Visión retrospectiva (control del resultado obtenido).
Se considera muy relevante tener en cuenta lo que sostiene Johan Espinoza
González, de la Universidad de Granada (España) y profesor titular de la Universidad
Nacional de Costa Rica, en su trabajo “La resolución y planteamiento de problemas como
estrategia metodológica en clases de matemática”. El autor afirma:
Se reconoce que la resolución de problemas es una estrategia metodológica que fo-
menta un aprendizaje significativo de los contenidos matemáticos. Además, promue-
ve el desarrollo de habilidades, destrezas y diversas competencias matemáticas que le
serán útiles a los estudiantes en su vida cotidiana. Esto porque se enfrentan a un
problema que les plantea una serie de retos y dificultades; sin embargo, al resolverlo,
con la ayuda del docente y el empleo de sus habilidades y conocimientos previos,
logran asimilar nuevas habilidades, conocimientos y competencias. También conclu-
imos que la preparación de este tipo de actividades no es tarea fácil, ya que requieren
de la búsqueda y análisis de información previa que permita elaborar un problema con
las características ya citadas y que además posea una intencionalidad didáctica, es de-
cir, que el estudiante aprenda un conocimiento nuevo y que motive a los alumnos a
resolverlo. De igual forma, el trabajo del docente no es sencillo y difiere al de una clase
tradicional. Esto porque tiene que ser ágil en el manejo de los tiempos de clase, pre-
parar con antelación todas las posibles soluciones del problema, poseer un conoci-
miento histórico matemático del concepto a enseñar, motivar a los estudiantes cuando
no encuentran una estrategia para resolverlo y no contestar preguntas que lleven a re-
solver el problema inmediatamente. En este sentido, se coincide con Mancera (2000)
al considerar que, para implementar exitosamente la resolución de problemas, el do-
cente requiere asimilar una serie de conceptos teóricos, así como adquirir la sensibi-
lización necesaria para diseñar situaciones didácticas que le brinden al estudiante la
oportunidad de interactuar con el problema, el saber y los demás compañeros. De
igual forma, debe abstenerse de generar situaciones que tiendan a desequilibrar el pro-
ceso forzando la solución del problema (Espinoza González, 2017: 69-70).
En la elaboración de los instrumentos, es decir de problemas que integran de manera
secuenciada los distintos contenidos, se ha considerado además lo que sostienen autoras
como Furman (2022) y Maggio (2018) en las obras citadas en las referencias, atendiendo
fundamentalmente a la necesidad de innovar y reinventar los procesos de enseñanza y a-
prendizaje con la finalidad de obtener mejores resultados.
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Decididamente, en función de lo planteado en los párrafos anteriores, la
formulación, el planteo, el análisis, la discusión, y, consecuentemente, la resolución de
problemas, empleando modelos matemáticos de diferente orden de complejidad, se
constituyen entonces en un factor de aprendizaje decisivo a la hora de enseñar matemática
y, por lo tanto, también a la hora de evaluar. Es por este motivo que la elección de los
mismos debe ser una tarea minuciosa, de modo que los diferentes planteos permitan ir
integrando, de manera secuenciada, los contenidos a medida que se los aborda.
Las cuestiones previamente citadas, sirvieron de apoyo y de sustento a la hora de
elaborar situaciones problemáticas, en las que se visualice de manera explícita la
importancia que la matemática posee para la modelación de situaciones específicas,
vinculadas a diversas formaciones profesionales, tanto para enseñar como para evaluar,
que es particularmente lo que nos ocupa en el presente artículo.
Se ha tomado en consideración, para algunos contenidos determinados, lo propues-
to por Schneeberger, en el libro Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas (2025-
EDUNER) en cuanto al enfoque sostenido para el abordaje de los temas, planteando un
enunciado a partir del cual se motive al estudiante acerca de la importancia del contenido
en su formación, y desarrollando los elementos teóricos necesarios y suficientes para la
comprensión, análisis y resolución del mismo.
Modelos de problemas integradores
A continuación, y sólo a modo de ejemplo de lo desarrollado hasta este punto, se
proponen algunos problemas correspondientes a contenidos de álgebra básica, de álgebra
lineal y de cálculo multivariado. Como puede observarse, si bien los temas son habituales,
los elementos que inter-vienen en el problema, la forma en la que los mismos están formu-
lados y las consignas que se establecen, permiten no solamente integrar varios temas, sino
además los aspectos prácticos con los elementos teóricos de los contenidos involucrados.
En consecuencia, el planteo de una sola de estas situaciones, si se trabaja habitualmente
en el desarrollo de las clases de esta manera, podría constituir una evaluación parcial
integradora.
Figura 3.Modelo de problema aplicado al álgebra básica
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La resolución de este problema requiere aplicar, en forma ordenada y gradual, los
siguientes contenidos del módulo de álgebra lineal: vectores, matrices, operaciones entre
las mismas, operaciones elementales entre filas o renglones, planteo y resolución de un
sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, para uno de los procedimien-
tos solicitados en la consigna; y determinantes y ecuaciones matriciales para el otro proce-
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dimiento requerido en el enunciado.
Figura 4.Modelo de problema aplicado al álgebra lineal
Complementariamente, con la finalidad de evaluar aspectos teóricos de los
contenidos involucrados., pueden plantearse algunas consignas del tipo siguiente:
a) Explique y ejemplifique el concepto de matriz y las operaciones posibles entre las
mismas, dando las condiciones de posibilidad de cada una de ellas.
b) Exprese en forma genérica un sistema de m ecuaciones lineales con incógnitas y diga
de qué manera pueden clasificarse.
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c) Enuncie y exprese de manera simbólica el teorema fundamental acerca de la
compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales.
d) Defina la función determinante y enuncie tres propiedades de la misma, dando en
cada caso un ejemplo.
e) Plantee de manera general dos ecuaciones matriciales diferentes y fundamente
como obtiene la expresión que le permite resolver cada una de ellas.
Figura 5. Modelo de problema aplicado en funciones de varias variables
Al plantear e ir resolviendo parcialmente este problema así formulado se integran la
totalidad de los conceptos abordados en el desarrollo del módulo funciones de varias varia-
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bles, o también denominados campos escalares, desde el concepto de campo escalar hasta
el de optimización sujeta a restricciones. Se considera que este abordaje, a partir del
enunciado de situaciones problemáticas cuya solución exija de manera explícita el
tratamiento simultáneo de diferentes temásticas, cotribuirá a potenciar la integración de
contenidos que permitan al estudiante acceder a una visión holística de los contenidos.
Pueden solicitarse, entre otras cuestiones, las siguientes:
a) determinar el dominio de definición y los conjuntos de nivel del campo escalar que
modela el proceso, realizando e interpretando las representaciones gráficas
correspondientes.
b) Defina e interprete la derivada parcial de K con respecto a L.
c) Explique cuando una función es homogénea y analiza si la función de producción lo
es y de qué grado. Justifique e interprete desde el punto de vista económico.
d) Exprese de manera coloquial y simbólica un punto extremo, realizando además una
interpretación gráfica.
e) Establezca las condiciones necesarias y suficientes de existencia de un punto
extremo libre.
f) Ídem para el caso de un punto extremo restringido.
Problemas de esta naturaleza pueden también diseñarse sobre un aula virtual, sea
para revisar e integrar conocimientos como también para evaluar, lo que posibilita un uso
más eficiente de los recursos tecnológicos que en estas épocas deben necesariamente
incorporarse e integrarse no sólo al proceso de aprendizaje-enseñanza, sino también al de
evaluación.
El problema que a continuación se plantea es adecuado para ser utilizado como
instrumento de evaluación de un módulo completo de álgebra lineal. De la forma en que
se lo ha construido permite que, en una primera parte, los estudiantes tengan la
posibilidad de seleccionar la respuesta correcta entre las opciones posibles, debiendo para
ello realizar cálculos poniendo en juego todas las estrategias ejercitadas durante las clases.
Por otro lado, en la segunda parte se pide que trabajen en papel, con la finalidad de
complementar con la evaluación de sus habilidades y capacidades de expresión escrita, el
uso adecuado de la simbología y la posibilidad de construir conceptos.
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Figura 6. Modelo de problema aplicado en evaluaciones
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Conclusiones
Puede decirse, después de este recorrido, que siempre es importante preguntarse
acerca de los rasgos y de los atributos que se espera tengan las nuevas generaciones, para
pensar a partir de esto que debe hacerse (y que no).
Es importante poder diferenciar entre el aprendizaje profundo y el conocimiento i-
nerte o simplemente acumulativo, considerando que el primero es el que permitirá a los
estudiantes poner en juego lo aprendido en contextos nuevos, pudiendo de esta forma po-
sicionarse de manera más firme y segura para resolver situaciones propias de su
desempeño profesional.
Innovar exige priorizar y organizar de manera adecuada contenidos para jerarquizar
lo fundamental, dedicándole el tiempo necesario para generar ese aprendizaje profundo,
que es, en definitiva, el verdadero aprendizaje.
No puede ni debe dejarse de lado la importancia que tiene la generación de la
motivación en los alumnos, es decir, aquello que les provoque ganas y sed de aprender
algo, teniendo en claro para que les va a servir y como lo podrán utilizar en su profesión y
en su vida. Claramente, esto exige que se planifiquen las actividades pedagógicas, que
incluyan planificación de secuencias y proyectos de enseñanza y de evaluación, para
contribuir a la generación de este tipo de aprendizajes. Es indispensable tener en cuenta
el rol de las preguntas como aliadas importantes del aprendizaje, como instrumentos
promotores del desarrollo de habilidades de pensamiento complejas en los estudiantes,
para potenciar la curiosidad y la motivación por aprender.
A la luz de los resultados obtenidos en el trabajo en las cátedras universitarias puede
afirmarse que esta metodología ha posibilitado que los estudiantes logren un mejor de-
sempeño. Es claro que debe continuarse en este proceso de manera sostenida, aproximan-
do cada vez más, y de modo sistemático, la forma de abordaje de los diferentes contenidos
al momento de ser desarrollados en el aula, a esta metodología que será empleada luego a
la hora de evaluar.
El presente trabajo pretende destacar, además, como apoyo a este enfoque, la impor-
tancia que los modelos matemáticos poseen para explicar, interpretar, comprender y
predecir, cualquiera sea el campo de formación profesional en el que la disciplina
matemática se aplique, incluso para enseñar matemática a estudiantes de matemática,
haciendo notar que existen diferentes tipos de modelos, según la naturaleza de las
variables, aplicables a diferentes situaciones específicas.
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Finalmente, se considera relevante mostrar situaciones que posibiliten visualizar de
qué manera y bajo qué requisitos o condiciones, puede elegirse el modelo que resulte más
adecuado para describir el fenómeno particularmente seleccionado, siempre como apoyo
o herramienta metodológica para aprender matemática pura o aplicada.
Bibliografía citada
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Cita: Schneeberger, M., 2025. “Innovación curricular e innovación metodológica en la enseñanza de la
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