Bajo la dirección de la Lic. Silvia Lupi y conformando el plantel docente el Dr. Ricardo Toledano, se dictará en la Facultad un curso de posgrado que aborda uno de los temas más modernos e importantes de la matemática aplicada: CÓDIGOS ALGEBRAICOS Y CURVAS ALGEBRAICAS SOBRE CUERPOS FINITOS. El mismo está destinado a Profesionales de Matemática que actúan en el nivel terciario y universitario y egresados de carreras de grado de Matemática y disciplinas afines, docentes y graduados de UADER, entre otros.

A continuación se reproduce el programa del curso en el que se abordan conocimientos previos, descripción y fundamentos, objetivos, contenidos, carga horaria, destinatarios entre otra información de interés.

1. Conocimientos previos requeridos
Conocimiento de las propiedades básicas de las siguientes estructuras algebraicas: estructura de grupo, subgrupo normal, grupo cociente, estructura de anillo, ideales primos y maximales, anillo cociente, anillo de polinomios y estructura de cuerpo.
2. Descripción y fundamentación del curso.
El curso está estructurado en los siguientes temas:
1. Cuerpos finitos.
2. Códigos algebraicos sobre cuerpos finitos.
3. Cotas de códigos y comportamiento asintótico.
4. Curvas algebraicas.
5. Género, puntos racionales y divisores en curvas algebraicas.
6. Códigos algebraicos geométricos.
El tema de los cuerpos finitos forma parte de la actual matemática discreta y es de gran utilidad en la moderna teoría de la información y comunicación a través de la teoría de códigos algebraicos. Se plantea presentar con cierto detalle un tipo de construcción de códigos algebraicos mediante curvas algebraicas que ha resultado ser muy útil en el plano teórico en cuanto al problema del comportamiento asintótico de ciertos parámetros asociados a un código. Debido a este tipo de aplicaciones de los cuerpos finitos a la teoría de la información, la teoría de códigos ha recibido mucha atención por parte de matemáticos e ingenieros desde hace varios años y, en consecuencia, ha crecido como una rama independiente de la matemática moderna que genera sus propios problemas. Algunos de ellos han encontrado respuesta en otras ramas de la matemática, como por ejemplo, la geometría algebraica, y en particular, la teoría de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos que será el tema de estudio en la última parte del programa propuesto.
3. Objetivos
Se pretende que a través de este curso los alumnos:
• Entiendan los fundamentos de la teoría de códigos algebraicos y su relación con los temas a enseñar como docentes de matemática en distintos niveles.
• Adquieran una formación más amplia en matemática, al iniciarse en uno de los temas más modernos e importantes de la matemática aplicada.
• Profundicen la capacidad de abstracción.
• Apliquen las propiedades básicas de la estructura de cuerpo finito
• Comprendan las propiedades básicas de las curvas algebraicas sobre cuerpos finitos
4. Contenidos
Unidad 1:
Cuerpos finitos. Propiedades básicas. Clasificación de los cuerpos finitos.
Unidad 2:
Códigos sobre cuerpos finitos. Matriz generadora. Distancia de Hamming. Códigos cíclicos.
Unidad 3:
Cotas sobre códigos. Cotas de Plotkin y Gilbert-Varshamov. Cotas asintóticas.
Unidad 4:
Curvas algebraicas. Curvas afines y proyectivas. Teorema de Bezout.
Unidad 5:
Singularidades y género de curvas algebraicas. Puntos racionales y divisores en una curva algebraica.
Unidad 6:
Códigos algebraicos geométricos. Comportamiento asintótico.
5. Carga horaria y cronograma tentativo
Las clases se desarrollarán durante abril, mayo, junio, julio y agosto de 2012.
Los encuentros comenzarán el sábado 14 de abril de 2012 de 9 a 13 h y se repetirán cada 15 días en el mismo horario. Con un receso entre el 7 de julio y el 4 de agosto.
Las dos últimas clases se darán el 18 y 25 de agosto.
Carga horaria total: 50 horas- de las cuales 40 horas serán presenciales y 10 horas de trabajo a distancia (tutorías) en las cuales los alumnos deben resolver problemas o ejercicios seleccionados de la bibliografía.
Carga horaria por clase: 4 horas (Clases Teóricas y Prácticas). Se prevén 8 encuentros cada 15 días, más dos encuentros correspondientes a los días en que se tomen las evaluaciones parciales. El primer parcial se tomará al finalizar la unidad 3 que, tentativamente, correspondería a la semana siguiente al cuarto encuentro. El segundo parcial se tomará al finalizar la unidad 6 que, tentativamente, correspondería a la semana siguiente al noveno encuentro.
6. Bibliografía
1. N. Biggs. Matemática Discreta. Ediciones Vicens-Vives. 1994. Primera edición.
2. W. Fulton. Curvas algebraicas. Introducción a la geometría algebraica.
Editorial Reverté. Edición 2005.
3. J. Walker. Codes and curves. American Mathematical Society. Student
Mathematical Library Vol. 17. 1st. Edition. 2000.
7. Metodología de trabajo
Modalidad de dictado: el curso es presencial. Las clases serán teóricas – prácticas, con discusiones grupales. Se exigirá el 80% de asistencia a las mismas.
Durante los encuentros a realizarse cada 15 días, se desarrollarán los conceptos fundamentales de la teoría, ilustrándolos con ejemplos y aplicaciones. Siendo la resolución de problemas una de las principales herramientas para la comprensión de los conceptos teóricos vistos en clase, en algunos encuentros se asignará a cada alumno algunos problemas seleccionados para entregar resueltos al encuentro inmediatamente siguiente. Este trabajo podrá hacerse en grupos de hasta 3 (tres) participantes promoviendo de esta manera la discusión y la búsqueda de distintas soluciones y enfoques.
8. Régimen de Evaluación
Habrá dos evaluaciones parciales de carácter individual. Cada una de ellas se calificará con un puntaje de 0 a 10. Aprobará el curso quien obtenga un promedio igual o superior a 6 (seis) entre los dos parciales y no menos de 6 (seis) en cada uno de los parciales.
Quienes no cumplan los requisitos anteriores deberán rendir una evaluación final sobre la totalidad de los contenidos de la materia para aprobar el curso. Se calificará con un puntaje de 0 a 10. Esta evaluación final se aprueba obteniendo un puntaje igual o superior a 6 (seis).
Destinatarios: Profesionales de Matemática que actúan en el nivel terciario y universitario y egresados de carreras de grado de Matemática y disciplinas afines.
De acuerdo a la ordenanza 010-06 , podrán inscribirse a los cursos de posgrado, docentes y graduados de UADER y de otras Universidades del país y el extranjero.
Con la aprobación de su director, podrán aceptarse COMO CURSANTES, egresados de institutos terciarios o alumnos del último año de carreras de grado de esta universidad.
Para dichos cursantes solo se otorgará, si correspondiere, un certificado de asistencia.
Cupo mínimo: 10 alumnos
Lugar de realización: FCyT. Sede Paraná. Esc. Normal
Costos estimados: Docentes UADER: 200$. Participantes Externos: 300$
Al finalizar el curso se realizará una encuesta con el objetivo de autoevaluación.